四捨五入的研究

　　四捨五入的研究 　　日前有報章報道，某銀行的網上系統有漏洞，只要不斷透過四捨五入造成的誤差，便可安坐家中賺取利潤。學校數學學會為此開設了一個講座，研究「四捨五入」這個數學上，常用的取近似值的方法。四捨五入的原理很簡單，基本上就是「向較接近的一方取近似值，以減少誤差」。 　　「四捨五」入是近似計算的一種方法，在我國應用很早，《九章算術》均輸章第一題述文中，有「有分者上下輩之」，即若得數為分數，則應進行輩之，使成為整數，已有入捨之初步思想，至三國時代的景初曆（237年）已有明文記載「半法以上排成一，不滿半法廢棄之。」即被除數大於除數一半時進位，得過剩近似值，不足一半時捨去，得不足近似值，即所謂四捨五入。 　　例如，要把123.456取小數點後一位的近似值，則因為123.456界乎123.4和123.5之間，而且較接近後者，因此我們取123.5作為近似值。這裏有一個小問題，就是「較接近的一方」，並不一定存在，例如把123.450捨入至123.4和123.5都是「同樣接近」的，故此我們根據「五入」的規則，把123.450向上捨入至123.5。但這樣做的話，得出的近似值會偏大。如果只是把123.450變成123.5，當然問題不大，不過如果是1.5變2，或10.5變11的話，而且經常要「五入」的話，這樣的例子是存在的，例如以0.5分為評分單位，但最終分數必定是整數的考試，那就很不同了。為了解決這個「偏大」的問題，一個「修正版」的四捨五入法，是「四捨六入五留雙」。名字本身有點誤導：雖然叫「六入」，但其實是「（5+ε）入」，例如123.456仍會「（5.6）入」至123.5。只是當出現123.450這些「打和」的情況時，才採用「五留雙」的規則。如果5字前的位是雙數則保留，單數則進位，故基於「4」是雙數，123.450會向下捨入至123.4，而123.550則會上捨入至123.6。至於「銀行家」是否真的採用此規則，大家不妨測試一下。那麼為甚麼要「留雙」而不是「留單」呢？我有以下猜測。 　　在以上123.456的例子中，如果採用四捨五入法，取小數點後一位的近似值，則會變成123.5，如果再把近似值取最接近整數，則變成124。問題是最接近123.456的整數應是123才對。再細看一下，我們發現其實123.44…445已經可以「合法地」變成124：只要逐位「五入」即可。 　　而且即使採用「四捨六入五留單」，同樣的情況仍會發生。採用「五留雙」的話，這樣的情況會得到一點點的改善，雖然也好不到哪裏：123.4500…001才可以「合法地」變成124。在日常生活中，由於角子缺乏，有些食肆在結帳時，也會採用「四捨五入方式」，以一元作為終極單位。